Основные свойства функций. Функции простые
Примеры сложных функций | Математика
Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.
А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.
1) y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, если u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом:
y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.
y=sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f=sin u.
y=sin (x/7). Внутренняя функция u=x/7, внешняя функция f=sin u.
2) y=cos x — «простая» функция. y=cos u — сложная функция, если u — некоторая функция, зависящая от x. Примеры сложных функций с внешней функцией — косинусом:
y=cos (4-11x). Внутренняя функция u=4-11x, внешняя функция — косинус: y=cos u.
y=cos (7x³ -4x²). Внутренняя функция u=7x³ -4x², внешняя — y=cos u.
3) y=tg x — «простая» функция. y = tg u — сложная функция, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — тангенс:
y=tg(17+5x²). Внутренняя функция u=17+5x², внешняя — y=tg u.
y=tg(9-x). Внутренняя u=9-x, внешняя — y=tg u.
4) y=ctg x — «простая» функция. y=ctg u — сложная функция, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — котангенс:
y=ctg(2x+6). Внутренняя функция u=2x+6, внешняя — y=ctg u.
y=ctg(√x). u=√x, f=ctg u.
5) y=√x — «простая» функция. y=√u — сложная, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — квадратный корень:
Здесь внутренняя функция y=sin x, а внешняя — f=√u.
Здесь u=9x³-12x+5, f=√u.
6) y=xⁿ — «простая» функция. y=uⁿ — сложная, если u=u(x). Примеры сложных функция для случая, когда внешняя функция — степенная.
y=sin³x. Внутренняя функция y=sin x (так как sin³x=(sin x)³), внешняя — у=u³.
7) y=arcsin x — «простая» функция. y=arcsin u — сложная, когда u=u(x).
Например, y=arcsin (3x-9) — сложная функция. Внутренняя функция u=3x-9, внешняя — f=arcsin u.
y=arcsin (17-5x³). u=17-5x³, f=arcsin u.
8) y=arccos x — «простая» функция. y=arccos u — сложная, при u=u(x).
Например, y=arccos (34x+5) — сложная функция. Внутренняя функция u=34x+5, внешняя — f=arccos u.
9) y=arctg x — «простая» функция. y=arctg u — сложная, при u=u(x).
Например, y= arctg (6x+2x³-7). Внутренняя функция u =6x+2x³-7, внешняя — f=arctg u.
10) y=arcctg x — «простая функция. При u=u(x) функция y=arcctg u — сложная.
Например, y= arcctg(2-11x+x²) — сложная функция. u=2-11x+x², f= arcctg u.
11) y=ln x — «простая» функция. y= ln u — сложная, при u=u(x).
Например, y=ln(4+32x-2x³). Внутренняя функция y=4+32x-2x³, внешняя — f=ln u.
Это — «простая» функция. А вот при u=u(x) получаем логарифм сложной функции:
Например,
Эта функция — «простая» (называется экспонента). А вот если в показателе стоит не x, а некоторая функция от икса: u=u(x), то это — уже экспонента сложной функции:
Например,
Эта функция — «простая». А вот если в показателе стоит не x, а некоторое выражение с x — функция u=u(x), то это уже степень сложной функции:
Например,
Эта функция — сложная. Внутренняя функция u=8x³+5x, а внешняя — степень сложной функции
Следует добавить, что внутренняя функция u, в свою очередь, может быть сложной функцией. И таких «вложенных» функций может быть несколько (теоретически — сколько угодно).
Например,
1) y=cos³(3x-12). Здесь внутренняя функция u =cos(3x-12), а внешняя функция f=u³. Но внутренняя функция y=cos(3x-12), в свою очередь, тоже является сложной функцией. Для нее внутренняя функция u=3x-12, а внешняя f=cos x.
Сначала рассмотрим эту функцию, как логарифм сложной функции. Тогда внутренняя функция
внешняя — логарифм:
В свою очередь, функция
— тоже сложная. Это — синус сложной функции, то есть
Но u — снова сложная функция. Здесь уже внутренняя функция u=2x²+5x, а внешняя f=√u.
www.matematika.uznateshe.ru
Простая функция - это... Что такое Простая функция?
Проста́я фу́нкция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.
Определение
Пусть — измеримое пространство. Пусть , где — конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция называется простой, если она имеет вид:
,где — индикатор множества .
Замечания
,и , то интегрируема по Лебегу, и
.Пример
Пусть , где — борелевская сигма-алгебра на , а — мера Лебега. Тогда функция
простая, ибо измерима и принимает три разных значения.
dic.academic.ru
1.6 Простейшие функции
Простейшими называют функции от двух переменных. В табл.1.3 приведены все функции, существенно зависящие от двух переменных. Для восьми из них введены названия и обозначения в табл. 1.4.
Таблица 1.3.
| x y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 0 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Задание. Объясните, почему остальные 6 функций не вошли в таблицу.
Таблица 1.4
| Номер | Обозначение. | Название |
| 1 | x&y | конъюнкция |
| 4 | xÅy | сложение по модулю 2 |
| 5 | xÚy | дизъюнкция |
| 6 | xy | стрелка Пирса (функция Вебба) |
| 7 | x»y | эквивалентность |
| 8 | y®x | импликация из y в x |
| 9 | x®y | импликация из x в y |
| 10 | x|y | штрих Шеффера |
Функция конъюнкция ещё называется функция И или логическое умножение и обозначается х&у=хÙу= х×у= ху
Функцию дизъюнкции ещё называют функцией ИЛИ (логическим сложением).
С помощью простейших можно строить более сложные функции, заменяя переменные функциями. В результате функции сопоставится формула, задающая последовательность выполнения операций. Для определения порядка вычисления функций можно использовать скобки. Например, функция, приведенная в табл. 1.1, может быть описана формулой
f = (x1 Å (x2 Å x3)).
Свойства простейших функций.
Между операциями над множествами, описанными и некоторыми простейшими функциями можно провести следующую аналогию. Для множества А сопоставим каждому элементу универсального множества функцию а=1, если аÎА, и а=0, если аÏА. Точно также переменную можно связать с любым множеством. Тогда имеет место следующие условия. Для элементов из `А функция `а=1, для элементов А ÇВ – а×b=1, для элементов А ÈВ аÚb=1. Значит, свойства операций, рассмотренных в главе 1, будут верны и для простейших функций.
Ниже перечислены свойства простейших функций, в истинности которых просто убедиться элементарной проверкой с помощью перебора.
Коммутативность функций конъюнкции, дизъюнкции, сложения по модулю 2: х Ú у = у Ú х.
Ассоциативность этих же функций: (хÚу) Úz= хÚ(уÚz)=хÚуÚz.
Дистрибуция: хÚ(у×z)=(хÚу)×(хÚz), х×(уÚz)= (ху)Ú(хz), х(уÅz)=(ху)Å(хz).
Правило де Моргана: (хÚу)=`х×`у , (х×у)=`хÚ`у.
Свойства констант: х×0=0, х×1=х, хÚ0=х, хÚ1=1, хÅ1=`х, хÅх=0, хÚ`х=1, х×`х=0.
Используя эти свойства, можно преобразовывать формулы, удаляя лишние элементы, раскрывая скобки, вынося элементы за знаки скобок и т.п.
1.7 Дизъюнктивные нормальные формы
Введём понятие степени булевой переменной. Будем считать, что x1=x, x0=`x.
Из определения следует, что хa=1, если х=a, и хa=0, если х¹a. В справедливости этого можно убедиться простым перебором значений.
Конъюнкция x1a1x2a2...xnan называется элементарной, если в ней каждая переменная встречается не более одного раза.
Рангом элементарной конъюнкции называется число букв, образующих эту конъюнкцию.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций.
Длиной ДНФ называется число элементарных конъюнкций, образующих эту ДНФ. Длину ДНФ будем обозначать буквой L.
Дизъюнктивная нормальная форма, имеющая наименьшую длину по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется кратчайшей ДНФ (КДНФ).
Дизъюнктивная нормальная форма, содержащая наименьшее число букв xiai по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется минимальной ДНФ (МДНФ).
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма состоит из элементарных конъюнкций ранга n, т.е. конъюнкций наибольшего возможного для данной функции ранга, поэтому с этой точки зрения СДНФ является наиболее сложной.
Любую функцию можно представить в виде СДНФ и это представление единственно, так как оно однозначно сопоставляется таблице истинности функции.
Пример. Найдём разложение функции f=(aÅb)®`ac по переменной а: F=a×f(a=1)Ú`a×f(a=0)=a×((1 Å b)® 0)Ú`a×((0 Å b)® c)=a×(`b®0)Ú`a(b®c). Здесь мы учли, что (1Åх)=`х, (0 Å х)=х. Если ещё учесть, что (х®0)=`х, что следует из таблицы истинности импликации, то получим окончательную формулу для функции f =a×b Ú`a× (b®c).
| Таблица 1.5 | ||
| х | у | х®у |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример. Представим функцию импликации в виде СДНФ, для чего запишем её табличное представление (табл.1.5). Здесь в множестве Т1 три набора 000, 001 и 111, поэтому в СДНФ будет три конъюнкции х®у=`х×`уÚ` х×уÚ х×у
studfiles.net
3.1 Простейшие функции и их графики. Графики и их функции
Похожие главы из других работ:
*-Алгебры и их применение
1.4. Простейшие свойства - алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным...
Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах
6. графики зависимости отклика
Графики зависимости отклика от каждого из параметров представлены на рисунка 4-6. Рисунок 4 - зависимость отклика от изменения параметра x1. Зависимость отклика от X1 y= 30,60 + 0,00*x1 + 2,97*x1^2 x2=0 x3=0 y= 25,60 + 3,87*x1 + 2,97*x1^2 x2=1 x3=0 y= 22,73 + 1,02*x1 + 2...
Графики и их функции
Глава V: Графики нетрадиционных функций
1. График функции Нам дана функция: Найдем область допустимых значений для этой функции: В знаменателе мы видим формулу разности квадратов...
Движение математического маятника
6§. Графики траекторий движения маятника
Построим численно кривые движения математического маятника при различных начальных условиях используя закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию . Задавая угол и промежуток времени, мы строим графики зависимости ()...
Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
Графики
Изобразим графически точное частное решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для начальных условий: t0 = 0, y0 = [1, 2, 3, 4]...
Логарифмическая функция в задачах
§1. Простейшие логарифмические уравнения
Определение 1 Логарифмическим уравнением (неравенством) называется уравнение (неравенство), содержащее переменную под знаком логарифма и (или) в основании логарифма. Пример: . Определение 2...
Математика и современный мир
5. Функции и графики
Функция представляет собой одно из основных математических понятий 20 века, когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль...
Математическое моделирование технических объектов
1.7 Графики в MathCAD
Пакет MATHCAD предоставляет широкие графические возможности. Кроме того, здесь можно использовать чертежи и рисунки, полученные в других графических системах. Нажатием буквально одной кнопки можно задать шаблон для генерации двумерного графика...
Метод конформных отображений в механике сплошных сред
2.1 Простейшие примеры
Пример 1. С помощью функции отобразить на плоскость прямую . Решение. Находим Преобразуем прямую.Получаем. Таким образом, , Подставляем в полученные уравнения: и получаем (1) (2) Из полученных уравнений исключаем х...
Поведение фазовых траекторий динамических систем
3.4 Простейшие типы особых точек
Существуют различные точки положений равновесия [5], различаемые по характеру поведения фазовых кривых вблизи данного положения равновесия. Положение равновесия системы (7), исходящее при из точки, достаточной близкой к...
Полурешетки m-степеней
§2 Простейшие свойства m - степеней
Ведем отношение частного порядка на множестве m - степеней: Обозначим через L частично упорядоченное множество m - степеней. Утверждение 2.1: множество L является верхней полурешеткой. Доказательство: Рассмотрим , где . Докажем...
Применение аппарата алгебры логики к решению содержательных задач
3. Простейшие задачи
Рассмотрим решение довольно простых задач: 1) На вопрос, какая погода будет завтра, синоптик ответил: 1. Если будет мороз, то снег выпадет только при пасмурной погоде. 2. Если не будет мороза, но пойдет снег, то погода будет пасмурной. 3...
Системы с постоянной четной частью
5. Простые и простейшие системы
Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции для которой выполнены тождества , имеют место соотношения Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области...
Способы расчета процентных ставок
2.1 Простейшие задачи
...
Тригонометрические функции
6. Простейшие тригонометрические неравенства
Чтобы решить тригонометрическое неравенство вида , нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеет абсциссу a. Абсциссу, равную a, имеют две точки. Тогда ответом является угол поворота радиуса между этими двумя точками...
math.bobrodobro.ru
Простая функция — WiKi
Определение
Пусть (X,F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} — измеримое пространство. Пусть A1,…,An∈F{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}} , где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } — конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция f:X→R(C){\displaystyle f:X\to \mathbb {R} (\mathbb {C} )} называется простой, если она имеет вид:
f(x)=∑i=1nai1Ai(x),x∈X{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X} ,где ai∈R(C),1Ai{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} (\mathbb {C} ),\mathbf {1} _{A_{i}}} — индикатор множества Ai,i=1,…,n{\displaystyle A_{i},i=1,\ldots ,n} .
Замечания
- Если (X,F)≡(Ω,F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\equiv (\Omega ,{\mathcal {F}})} — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
- Если (X,F,μ){\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} — пространство с мерой, f:X→R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } простая, причём
и μ(Ai)<∞,∀i=1,…,n{\displaystyle \mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n} , то f{\displaystyle f} интегрируема по Лебегу, и
∫Xfdμ=∑i=1naiμ(Ai){\displaystyle \int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})} .Пример
Пусть (X,F,μ)=(R,B(R),m){\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)} , где B(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} — борелевская сигма-алгебра на R{\displaystyle \mathbb {R} } , а m{\displaystyle m} — мера Лебега. Тогда функция
f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,x∈R{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matrix}}\right.,x\in \mathbb {R} }простая, ибо измерима и принимает три разных значения.
ru-wiki.org
4.2. Простейшие функции
Простейшими называют функции от двух переменных. В табл.4.3 приведены все функции, существенно зависящие от двух переменных. Для восьми из них введены названия и обозначения в табл. 4.4.
Таблица 4.3.
| x y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 0 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Задание. Объясните, почему остальные 6 функций не вошли в таблицу.
Таблица 4.4
| Номер | Обозначение. | Название |
| 1 | x&y | конъюнкция |
| 4 | xÅy | сложение по модулю 2 |
| 5 | xÚy | дизъюнкция |
| 6 | xy | стрелка Пирса (функция Вебба) |
| 7 | x»y | эквивалентность |
| 8 | y®x | импликация из y в x |
| 9 | x®y | импликация из x в y |
| 10 | x|y | штрих Шеффера |
Функция конъюнкция ещё называется функция И или логическое умножение и обозначается х&у=хÙу= х×у= ху
Функцию дизъюнкции ещё называют функцией ИЛИ (логическим сложением).
С помощью простейших можно строить более сложные функции, заменяя переменные функциями. В результате функции сопоставится формула, задающая последовательность выполнения операций. Для определения порядка вычисления функций можно использовать скобки. Например, функция, приведенная в табл. 4.1, может быть описана формулой
f = (x1 Å (x2 Å x3)).
Свойства простейших функций.
Между операциями над множествами, описанными в главе 1, и некоторыми простейшими функциями можно провести следующую аналогию. Для множества А сопоставим каждому элементу универсального множества функцию а=1, если аÎА, и а=0, если аÏА. Точно также переменную можно связать с любым множеством. Тогда имеет место следующие условия. Для элементов из `А функция `а=1, для элементов А ÇВ – а×b=1, для элементов А ÈВ аÚb=1. Значит, свойства операций, рассмотренных в главе 1, будут верны и для простейших функций.
Ниже перечислены свойства простейших функций, в истинности которых просто убедиться элементарной проверкой с помощью перебора.
Коммутативность функций конъюнкции, дизъюнкции, сложения по модулю 2: х Ú у = у Ú х.
Ассоциативность этих же функций: (хÚу) Úz= хÚ(уÚz)=хÚуÚz.
Дистрибуция: хÚ(у×z)=(хÚу)×(хÚz), х×(уÚz)= (ху)Ú(хz), х(уÅz)=(ху)Å(хz).
Правило де Моргана: (хÚу)=`х×`у , (х×у)=`хÚ`у.
Свойства констант: х×0=0, х×1=х, хÚ0=х, хÚ1=1, хÅ1=`х, хÅх=0, хÚ`х=1, х×`х=0.
Используя эти свойства, можно преобразовывать формулы, удаляя лишние элементы, раскрывая скобки, вынося элементы за знаки скобок и т.п.
4.3. Дизъюнктивные нормальные формы и теорема о разложении
Введём понятие степени булевой переменной. Будем считать, что x1=x, x0=`x.
Из определения следует, что хa=1, если х=a, и хa=0, если х¹a. В справедливости этого можно убедиться простым перебором значений.
Конъюнкция x1a1x2a2...xnan называется элементарной, если в ней каждая переменная встречается не более одного раза.
Рангом элементарной конъюнкции называется число букв, образующих эту конъюнкцию.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций.
Длиной ДНФ называется число элементарных конъюнкций, образующих эту ДНФ. Длину ДНФ будем обозначать буквой L.
Дизъюнктивная нормальная форма, имеющая наименьшую длину по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется кратчайшей ДНФ (КДНФ).
Дизъюнктивная нормальная форма, содержащая наименьшее число букв xiai по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется минимальной ДНФ (МДНФ).
Теорема о разложении. Для любой функции f(x1,x2,…,xn,) f(x1,x2,…,xi,…,xn)=Úx1a1× x2a2 … xiai× ×f(a1,a2,…,ai,xi+1…,xn)
"a1a2…ai
Доказательство. Возьмём произвольный набор значений переменных (b1,b2,…,bn) и подставим его в выражение справа и слева от равенства. Получим
f(b1,b2,…,bn)=Úb1a1× b2a2 … biai× ×f(a1, a2,…, ai, bi+1, …, bn)
"a1a2…ai
Справа для любого набора значений (a1, a2, …, ai), не равного (b1,b2,…,bi), соответствующая конъюнкция будет равна нулю, так как она в силу условия xa= 0, если x ¹ a, будет содержать нулевой сомножитель. Останется единственная конъюнкция, где (a1, a2, …, ai)=(b1, b2, …, bi), т.е. получим равенство f(b1,b2,…,bn)= f(b1,b2,…,bn), что и доказывает теорему.
Следствия из теоремы.
f(x1,x2 …)=x1f(x1=1)Ú`x1×f(x1=0). Это равенство известно как формула разложения К. Шеннона.
2. f(x1,x2,…,xn)=Úx1a1× … xnan× ×f(a1,a2,…,an) =Úх1a1× х2a2 … хnan×
"a1a2…an "(a1a2…an)ÎT1
Это равенство получается из формулы при i=n, здесь Т1 –множество наборов значений аргументов, на которых функция равна 1. Оно известно как представление функции в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ).
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма состоит из элементарных конъюнкций ранга n, т.е. конъюнкций наибольшего возможного для данной функции ранга, поэтому с этой точки зрения СДНФ является наиболее сложной.
Любую функцию можно представить в виде СДНФ и это представление единственно, так как оно однозначно сопоставляется таблице истинности функции.
Пример. Найдём разложение функции f=(aÅb)®`ac по переменной а: F=a×f(a=1)Ú`a×f(a=0)=a×((1 Å b)® 0)Ú`a×((0 Å b)® c)=a×(`b®0)Ú`a(b®c). Здесь мы учли, что (1Åх)=`х, (0 Å х)=х. Если ещё учесть, что (х®0)=`х, что следует из таблицы истинности импликации, то получим окончательную формулу для функции f =a×b Ú`a× (b®c).
| Таблица 4.5 | ||
| х | у | х®у |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример. Представим функцию импликации в виде СДНФ, для чего запишем её табличное представление (табл.4.5). Здесь в множестве Т1 три набора 000, 001 и 111, поэтому в СДНФ будет три конъюнкции х®у=`х×`уÚ` х×уÚ х×у
studfiles.net
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости
Коэффициент а определяет направление ветвей. График квадратичной функции - парабола. Координаты вершины параболы находятся по формулам:
Свойства функции:
1. D(у)=R.
2. Множество значений одного из промежутков: или.
3. Функция принимает нулевые значения при , где дискриминант вычисляется по формуле:.
4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .
studfiles.net
